เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

เรื่อง การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ


-          ปริมาณทางฟิสิกส์

                    ปริมาณสเกลลาร์  เป็น ปริมาณบอกเฉพาะขนาดเท่านั้น เราก็เข้าใจได้  ตัวอย่างปริมาณสเกลลาร์ เช่น จำนวนนับของสิ่งของ  ระยะทาง  เวลา  พื้นที่  งาน  พลังงาน ความหนาแน่น   กระแสไฟฟ้า  เป็นต้น การการบวก  ลบ คูณ หรือ หาร ปริมาณสเกลลาร์    เราสามารถกระทำได้ตามหลักการทางคณิตศาสตร์ธรรมดาได้เลยครับ

ปริมาณเวกเตอร์  เป็น ปริมาณที่ต้องกำหนดทั้งขนาดและทิศทางจึงจะมีความหมาย   ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ เช่น    แรง  การกระจัด  ความเร็ว  ความเร่ง โมเมนตัม และปริมาณอื่น ๆ อีกหลายที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง   เป็นต้น   เนื่องจากปริมาณเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง  การคำนวณจึง  ไม่สามารถดำเนินการบวก ลบ คูณ หารแบบธรรมดาได้   การบวก ลบ เวกเตอร์ เราทำได้หลาย ๆ วิธี   เช่น  การวาดรูป  การคำนวณโดยใช้สมการ-          ปริมาณเวกเตอร์
           ปริมาณเวกเตอร์  เป็น ปริมาณที่ต้องกำหนดทั้งขนาดและทิศทางจึงจะมีความหมาย   ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ เช่น    แรง  การกระจัด  ความเร็ว  ความเร่ง โมเมนตัม และปริมาณอื่น ๆ อีกหลายที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง   เป็นต้น   เนื่องจากปริมาณเวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง  การคำนวณจึง  ไม่สามารถดำเนินการบวก ลบ คูณ หารแบบธรรมดาได้   การบวก ลบ เวกเตอร์ เราทำได้หลาย ๆ วิธี   เช่น  การวาดรูป  การคำนวณโดยใช้สมการ


-          การเคลื่อนที่ของวัตถุ

      

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่จะเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องของการเคลื่อนที่ ซึ่งในการเคลื่อนที่จะต้องประกอบไปด้วยองค์ประกอบ 3 ส่วน
Y วัตถุที่เคลื่อนที่ จะหมายจึงวัตถุที่มีลักษณะเป็นของแข็งที่คงรูปทรงอยู่ได้
Y ผู้สังเกต เป็นผู้ที่ศึกษาวัตถุที่เคลื่อนที่ โดยผู้สังเกตจะต้องอยู่นอกวัตถุที่เคลื่อนที่
Y จุดอ้างอิง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะต้องมีการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุดังนั้นเราจะต้องมีจุดอ้างอิง
เพื่อบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป
-          ระยะทาง

1. ระยะทาง (Distance) การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเริ่มนับตั้งแต่จุดเริ่มต้นที่เราสังเกตเป็นจุดอ้างอิงแล้ววัดระยะทางตามแนวทางที่วัตถุเคลื่อนที่
ไปตามแนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ 
-          การกระจัด
การกระจัด (displacement) คือ เส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดเริ่มต้น และจุดสุด ท้ายของการเคลื่อนที่เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือ ต้องคำนึงถึงทิศทางด้วย มีหน่วยเป็นเมตร โดยทั่วไปเขียนแบบเว็กเตอร์เป็น S 


-          อัตราเร็ว

อัตราเร็ว (สัญลักษณ์: v) คืออัตราของ การเคลื่อนที่ หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งก็ได้ หลายครั้งมักเขียนในรูป ระยะทาง d ที่เคลื่อนที่ไปต่อ หน่อย ของ เวลา t

อัตราเร็ว เป็นปริมาณเสเกลาร์ที่มีมิติเป็นระยะทาง/เวลาปริมาณเวกเตอร์ที่เทียบเท่ากับอัตราเร็วคือความเ็ร็ว อัตราเร็ววัดในหน่วยเชิงกายภาพเดียวกับความเร็ว แต่อัตราเร็วไม่มีองค์ประกอบของทิศทางแบบที่ความเร็วมี อัตราเร็วจึงเป็นองค์ประกอบส่วนที่เป็นขนาดของความเร็ว

-          ความเร็ว

ความเร็ว คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งต่อหน่วยเวลา มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที (m/s) ในหน่วยเอสไอ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยอัตราเร็วและทิศทาง ขนาดของความเร็วคืออัตราเร็วซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ตัวอย่างเช่น "5 เมตรต่อวินาที" เป็นอัตราเร็ว ในขณะที่ "5 เมตรต่อวินาทีไปทางทิศตะวันออก" เป็นความเร็ว ความเร็วเฉลี่ย v ของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปด้วยการกระจัดขนาดหนึ่ง ∆x ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรนี้

-          อัตราเร่ง

          อัตราเร่ง 
หมายถึง การเพิ่มความเร็ว จากความเร็วหนึ่ง ไปยังอีกความเร็วหนึ่งที่สูงขึ้น เช่น อัตราเร่งจากความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง ไปยังความเร็ว 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง หรือตามมาตรฐานการทดสอบที่นิยมกัน คือ จากจุดหยุดนิ่งไปยังความเร็ว 100 กิโลเมตร/ชั่วโมง 


-          ความเร่ง

            ความเร่ง (Acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา นั่นคือถ้าที่เวลา วัตถุมีความเร็ว  และที่เวลาก่อนนั้นคือ วัตถุมีความเร็ว ถือว่าความเร่งเฉลี่ยใน ช่วงเวลา ถึงเวลา คือ

                                   

ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous acceleration) โดยใช้สัญลักษณ์ คือ

                              

          หากเขียนกราฟของความเร็วกับเวลา  ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดต่าง ๆ ก็คือความเร่งของ วัตถุที่จุดนั้นๆ ในทำนองเดียวกันกับที่ความเร็วเป็นความชันของ กราฟระหว่างตำแหน่งกับเวลา  สำหรับคำว่า  อัตราเร่ง ก็จะไม่คิดทิศทางในลักษณะ เดียวกับอัตราเร็ว

-          การหาความชันของกราฟ

ความชันจะหาได้จาก
1.สมการที่กำหนดมาเเล้ว
2.จุด 2 จุดที่เส้นกราฟผ่าน
จาก1.เช่น y = 2x+1ได้ความชัน 2 ระยะตัดเเกน y 1ความชันได้มาจากหน้า x ถ้าไม่มีเลยเช่น y = x+9เเสดงว่ามการนี้มีความชัน 1จาก 2สมมติมีจุดตัดมาให้ 2 จุดเช่น
(3,6)เเละ(4,8)หาได้ทั้งความชันเเละสมการโดย
หาความชันได้จากการนำค่า y จากพิกัดที่กำหนดคือพจน์หลังของทั้ง 2พิกัด มาลบกันเเล้วนำค่าทั้งหมดที่ได้หารด้วย ค่าของ x ในพิกัดทั้งสอง
มาลบกัน ตามตัวอย่างได้
(8 - 6) / (4-3) ได้ 2 ความชันได้ 2


-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง s-t, v-t และ a-t

               กราฟ (Graph)

v

s

a

การหาความหมายของกราฟและความสัมพันธ์ของกราฟ

ความเร่ง > 0

ความเร็วคงที่

1 

                                                                                  

	t				t		t

 

                                                                 

v

s

a

        ระยะทางเพิ่มขึ้นคงที่      

2. .      

                                                                             ความเร็วเพิ่มคงที่                ความเร่ง > 0

			t				t

 

a

v

s

        ระยะทางเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

ระยะทางเพิ่มเล็กน้อยเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น

ความเร่ง < 0

ความเร็วลดคงที่

3

			t		t

 

                                                    

s

t

                                                                                           

   

a

v

4

ความเร่ง < 0

 

t

t

                                                                         

			t

 

การแปลความหมายจากกราฟ ให้พิจารณา 2 กรณี

                1. ความชัน (slope)

                2. พื้นที่ใต้กราฟ

การวิเคราะห์กราฟ S-T

s

                                    1. ความชัน =       

                             slope             v =      

t

                                              slope = v 

                           

s

                                    2. พื้นที่ใต้กราฟ =  (st) 

                     พื้นที่ใต้กราฟ                   = ไม่มีความหมาย

                  

t

                            

 

การวิเคราะห์กราฟ V-T

v

                             1. ความชัน =  v/t 

                                             a = v/t

                                      slope = a

t

                         

     

v

                                  2. พื้นที่ใต้กราฟ =  (vt) 

                                             ระยะทาง =  (vt)

                                    พื้นที่ใต้กราฟ = ระยะทาง

t

                            

การวิเคราะห์กราฟ A-T

a

                                    1. ความชัน = a/t 

                                                         = ไม่มีความหมาย

                  

t

                                       

a

                                                        2. พื้นที่ใต้กราฟ  =   (at) 

                                                                      v  = (at)

                                         พื้นที่ใต้กราฟ     =   ความเร็ว  

t

                             

Ex1  จากกราฟ v-t จงเปลี่ยนเป็นกราฟ a-t และ s-t 

v

                                                                         

							t

 

                                                                                                                                                          

t

t

                                                                   

   

s

t

v

 Ex2  จากกราฟ a-t จงเปลี่ยนเป็นกราฟ v-t และ s-t 

           a                                                                  

			t

 

                                   

t

                                                                        

Ex3 ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่งแล้วตกกลับสู่ที่เดิม จงเขียนกราฟ v-t และ  a-t 

           v                                                                  a

 

                                                          t                                                                              t

 

 Ex4  จากรูปโยนวัตถุขึ้นไปในแนวดิ่งดังกราฟ v-t จงหา    v(m/s)      

50

     ก. ความเร่ง                                                

     ข. นานเท่าใดวัตถุถึงตำแหน่งสูงสุด                

5

t(s)

                                                                                              

วิธีทำ ความเร่งจากกราฟ v - t = slope                                  ความเร่งมีค่าเท่ากับ    ตอบ

วิธีทำ วัตถุจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาผ่านไป 5  วินาทีตอบ

-          การหาความเร็วและความเร่งจากกราฟ

§    ความเร่ง คือ ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเป็นปริมาณ เวคเตอร์

    = 

หรือ

                                                                        =                                                                                                                                                                   

         เราสามารถหาค่าของความเร่งได้จากความชัน(slope) 

ถ้าข้อมูลให้เป็นกราฟ ความเร็ว กับ เวลา (v-t) 

ความเร่งขณะหนึง คือ ความเร่งในช่วงเวลาสั้นๆในกรณีที่เราหาความเร่ง เมื่อ t เข้าใกล้ศูนย์  ความเร่งขณะนั้นเราเรียกว่า ความเร่งขณะหนึ่ง    ถ้าข้อมูลเป็นกราฟ  หาได้จาก slope ของเส้นสัมผัส

                                                                                                                                                                                                            

ความเร่งเฉลี่ย คือ อัตราส่วนระหว่างความเร็วที่เปลี่ยนไปทั้งหมดกับช่วงเวลาที่เปลี่ยนความเร็วนั้น

กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ง (a) กับเวลา (t)

 สามารถหาความเร็วได้โดย

 = พื้นที่ใต้กราฟ

 = พื้นที่ใต้กราฟ 

ข้อสังเกต

1 วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง วัตถุจะเคลื่นที่เร็วขึ้นเมื่อเวลาผ่าน

2 วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยเร็วคงตัวตลอดการเคลื่อนที่

3 วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความหน่วง วัตถุเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อเวลาผ่านไป

ตัวอย่างการคำนวณ

                  1 อนุภาคหนึ่งมีความเร็วของอนุภาคสัมพันธ์กับเวลาดังรูป จงหาความเร่งช่องเวลา 2-6 วินาที

                     คิดวิเคราะห์ : กราฟระหว่งความเร็ว (v) กับเวลา (t)หาความเร่งได้จากความชันของกราฟ

กราฟระหว่างความเร็ว (v) กับเวลา (t) หาความเร่งได้จากความชันของกราฟ

                                       วิธีทำ   จาก ความเร่ง = ความชันของกราฟช่วง 2 – 6 วินาที

                                                           = 

                                                              = 

                                                              = 0.5 เมตร/วินาที²

-          กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว(v) และ เวลา (t)

การเปลี่ยกราฟระหว่างการกระจัด(S) -เวลา(t)ความเร็ว(V ) - เวลา(t)และ ความเร่ง(a) - เวลา(t) ต้องทราบความสัมพันธ์ดังนี้ 1. พิจารณาจากความสัมพันธ์ของปริมาณ การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง                 1. กราฟระหว่าง การกระจัด(S) -เวลา(t) ความชันของกราฟนี้คือ ความเร็ว                             ถ้าเปลี่ยนเป็นกราฟ ความเร็ว(V ) -เวลา(t) ก็เปลี่ยนจากความชัน                2. กราฟระหว่าง ความเร็ว(V ) -เวลา(t) ความชันของกราฟนี้คือ ความเร่ง                             ถ้าเปลี่ยนเป็นกราฟ ความเร่ง(a) -เวลา(t) ก็เปลี่ยนจากความชัน
	2. ความชันของกราฟ
	3. พิจารณานิยาม
	ตัวอย่างการเปลี่ยนแกนกราฟ
	1.             การเคลื่อนที่ของวัตถุแนวเส้นตรงเขียนเป็นกราฟระหว่าง  s - t  ดังรูป   จงเขียนกราฟระหว่าง  v - t           V = ความชัน จากกราฟความชันคงที่ แสดงว่าความเร็วคงที่          ดังนั้นเมื่อเขียนเป็นกราฟ v-t  จะได้กราฟขนานกับแกน tดังรูป    2.              การเคลื่อนที่ของวัตถุแนวเส้นตรงเขียนเป็นกราฟระหว่าง  V - t  ดังรูป   จงเขียนกราฟระหว่าง a - t         a = ความชัน จากกราฟความชันเท่ากับศูนย์(0) แสดงว่าความเร่งเป็นศูนย์(0)          ดังนั้นเมื่อเขียนเป็นกราฟ v-t  จะได้กราฟขนานกับแกน t ดังรูป    กรณี กราฟที่กำหนดให้ข้อมูลเป็นตัวเลขและสามารถหาความชันได้ นักเรียนต้องหาความชันของกราฟก่อน เช่น กราฟระหว่าง การกระจัด-เวลา ความเร็วคือความชันของกราฟ สามารถหาขนาดของความเร็วได้แล้วจึงค่อยเขียนกราฟระหว่าง ความเร็ว - เวลา ดังตัวอย่างข้อที่ 3
	3. การเคลื่อนที่ของวัตถุแนวเส้นตรงเขียนเป็นกราฟระหว่าง  s - t  ดังรูป       จงเขียนกราฟระหว่าง  v - t  จากการเคลื่อนที่นี้               เขียนกราฟ ความเร็ว – เวลา  ได้ดังรูป
	ทดสอบเพื่อความเข้าใจ 1.วัตถุเคลื่อนที่แนวเส้นตรงสามารถเขียนเป็นกราฟการกระจัดกับเวลาเป็นดังรูป นักเรียน        ออกแบบและเขียนกราฟความเร็วกับเวลา
	เฉลย
	2.การเคลื่อนที่ของวัตถุแนวเส้นตรงเขียนเป็นกราฟระหว่าง  v - t  ดังรูป จงเขียนกราฟระหว่าง  a - tจากการเคลื่อนที่นี้

-          สมการการเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งคงที่

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวระดับด้วยความเร่งคงที่
             เมื่อพิจารณาวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ a และเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็วต้น u  ที่เวลา t=0 และมีความเร็วสุดท้าย v ที่เวลา  t  เราสามารถคำนวณเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แนวตรงตามแนวระดับด้วยความเร่งคงที่ โดยมีสมการหรือสูตรที่ใช้ในการคำนวน  4 สูตรดังนี้
                                                1.  v  =  u  +  at                เมื่อ  u = ความเร็วต้น

                                                2.  s  =                         v = ความเร็วปลาย

                                                3.  s  = ut + at                      a = ความเร่ง

                                                4.  v = u + 2as                        t = เวลา

                                                                                                s = การกระจัด

               ข้อควรจำ
               1. ทิศของ u เป็นบวกเสมอ ปริมาณใดที่มีทิศตรงข้ามกับ u จะมีเครื่องหมายเป็น ลบ
               2. การกระจัดต้องวัดจากจุดเริ่มต้นและพิจารณาประกอบทิศของ u ด้วย

-          สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่งด้วยความเร่งคงที่

คือว่าจุดประสงค์ที่ผมได้ทำการเขียนบทความนี้ว่า คือผมก็ไม่ได้เก่งฟิสิกซ์อะไรมากมาย เพียงแต่ว่าเรื่องนี้เหมือนเป็นพื้นฐานในการคำนวณหาการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์นะครับ ถ้าเกิดว่าเพื่อนๆหรือน้องๆที่ใจในเรื่องของการเคลื่อนที่ในแนวเส้นโค้งนั้น จะต้องมีพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบแนวระดับ กับ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง มาเป็นอย่างยิ่ง อันเนื่องมาจากว่าผมเองก็ไม่ค่อยแม่นเรื่องนี้ ดังนั้นครับ ข้อความทั้งหมดนี้อาจมีข้อผิดพลาดนะครับ ไม่เหมาะสำหรับท่านเซียนทั้งหลายนะครับ ซึ่งก่อนที่เีราจะไปดูเรื่องการเคลื่อนที่ในแนวโค้งนะครับ เรามาศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่งก่อนเลยนะครับ

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ก็พบได้หลายเหตุการณ์ไม่ว่าจะเป็น การตกลงมาของวัตถุใดๆจากจุดๆหนึ่งๆ การตกของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นนวตันถูกแอปเปิลตกใส่หัวกบาล หลายเหตุการณ์ที่เป็นการเคลื่อนที่แบบแนวดิ่งครับ

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง มีหลายประการคือ การที่โลกใช้แรงดึงดูด หรือ แรงโน้มถ่วง ที่เราพูดกันว่าแรงดึงดูดของโลก มีค่า  แต่ว่านักวิทยาศาสตร์ให้เป็นที่รู้กันว่าถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดมาให้ให้คำนวณเป็น 

ประเภทของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง มีสองประเภทคือ

§   วัตถุตกแบบอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว

§   วัตถุตกแบบไม่อิสระหรือมีความเร็วต้น ซึ่ง U ไม่เท่ากับ 0

โดยสิ่งที่เพื่อนๆต้องจำก็คือว่าในกรณีที่เขาบอกว่าโยนวัตถจะพยว่ามีแรงมากระทำคือ U ไม่เท่ากับ 0 และถ้าโยนขึ้นไปเท่ากับว่าไปต้านแรงโน้มถ่วงของโลก ทำให้ค่า g  ที่แทนในสูตรมีค่า ติดลบ (-) อีกเงือนไขถ้าโยนบนเขา คือระยะทางที่โยนขึ้นไปบนเขา มีค่าน้อยกว่าการกระจัดที่ตกลงสู่พื้น จะทำให้ได้ว่าการกระจัดทั้งหมดเป็นลบ (-)

มาดูสูตรการคำนวณการหาระยะทาง หาความเร็วต้น ความเร็วปลาย เวลา การกระจัด โดยสูตรต่อไปนี้ครับ

 อันนี้ใช้กรณีที่หา ความเร็วปลาย ต้น เวลา

 อันนี้ไว้หาการกระจัด

 หาการกระจัดเช่นกัน

อันนี้ยอดฮิตมากเลยครับทุกท่าน 

-          การคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้แรงดึงดูดของโลก

กาลิเลโอ ได้ทำการทดลองให้เห็นว่า วัตถุที่ตกลงสู่พื้นโลกอย่างอิสระ จะเคลื่อนที่ภายใต้แรงดึงดูดของโลก ต่อมานิวตันสังเกตุเห็นว่า ทำไมดวงจันทร์ไม่ลอยหลุดออกไปจากโลก ทำไมผลแอปเปิ้ลจึงตกลงสู่พื้นดิน นิวตันได้ทำการศึกษาค้นคว้าต่อ จนในที่สุดก็สามารถพิสูจน์ในเรื่องกฎแห่งการดึงดูง สสาร โดยโลกและดวงจันทร์ต่างมีแรงดึงดูดซึ่งกันและ กัน แต่เนื่องจากดวงจันทร์โคจรรอบโลก จึงมีแรงหนีสู่ศูนย์กลางซึ่งต่อต้านแรงดึงดูดไว้ ทำให้ดวงจันทร์ลอยโคจรรอบโลกได้ แต่ผลแอปเปิ้ลกับโลกก็มีแรงดึงดูดระหว่างกัน ผลแอปเปิ้ลเมื่อหลุดจากขั้วจึงเคลื่อนที่อิสระตามแรงดึงดูดนั้น

การตกอย่างอิสระนี้ วัตถุจะเคลื่อนตัวด้วยความเร่ง ซึ่งเรียกว่า Gravitational acceleration หรือ g ซึ่งมีค่าประมาณ 9.8 m/sการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งนี้จึงเป็นไปตาม กฎการเคลื่อนที่ ดังนี้

ตัวอย่างเช่น ขว้างหินจากชั้น 4 ของตึกขึ้นไปในแนวดิ่ง ด้วยความเร็ว 10 m/s ณ จุดที่มีความสูง14 เมตร จงหาว่าก้อนหินใช้เวลาอยู่ในอากาศนานเท่าใดจึง ตกถึงพื้น และความเร็วขณะถึงพื้นเป็นเท่าใด ระยะทาง จากการคำนวณหาความเร็วสุดท้าย แทนค่าได้ เมื่อทราบความเร็วต้น และความเร็วสุดท้าย ความเร็วต้นมีทิศเป็นลบ ความเร็วปลายมีทิศเป็นบวก อัตราเร่ง g มีทิศตรงข้ามกับทิศทางที่ขว้าง จึงมีค่าเป็นลบ v = u + 2gs v = (10) + 2(-9.81) x (-14) = 374.7 v = 19.36

-          ความเร็วสัมพัทธ์(Relative Velocity)
ความเร็วสัมพัทธ์ (Relative Velocity)

               การจะบอกว่าวัตถุอยู่ที่ตำแหน่งใดให้ชัดเจน  และเป็นที่เข้าใจกันได้เป็นอย่างดี  ย่อมต้องมีจุดอ้างอิงและแกนอ้างอิง นั่นคือ มีระบบโคออร์ดิเนตอ้างอิง ถ้ามีผู้สังเกตสองคน  ต่างใช้ระบบโคออร์ดิเนตของตนเองและเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน นั่นคือ ระบบหนึ่งมีความเร็ว เมื่อเทียบกับอีกระบบหนึ่ง  สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ  เมื่อเป็นเช่นนี้  วัตถุที่เห็นอยู่นิ่งในระบบหนึ่ง ก็จะปรากฎในอีกระบบหนึ่ง  ตัวอย่างเช่น  ขณะที่รถไฟวิ่งด้วยความเร็วคงตัวผ่านชานชาลา แห่งหนึ่งผู้โดยสารในรถไฟทำของหล่นจากมือลงพื้น  ผู้สังเกตในรถไฟเห็นวัตถุนั้นตกลง ด้วยความเร่งในแนวดิ่ง  ทั้งนี้เทียบกับตัวเองในรถไฟ ส่วนผู้ที่อยู่บนชานชาลานอกรถไฟ  มองผ่านหน้าต่างเห็นว่าวัตถุตกลงเป็นวิถีโค้งแบบโพรเจกไทล์ตัวอย่างของการสังเกตที่
เกี่ยวกับความเร็วสัมพัทธ์เช่น   ขณะที่ฝนตก  ให้เม็ดฝนมีขนาดที่ทำให้ตกด้วยความเร็ว
สม่ำเสมอ 10 เมตรต่อวินาที  และตกลงในแนวดิ่งในอากาศนิ่ง   (สำหรับผุ้สังเกตอยู่นิ่ง) สำหรับผู้สังเกตที่อยู่ในรถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (10 เมตรต่อวินาที) จะเห็นเม็ดฝนตกอย่างไร ซึ่งความเร็วของเม็ดฝนที่เห็นจะเป็นความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกตที่
เคลื่อนที่นั่นเอง  สิ่งที่ลอยอยู่นิ่งในอากาศข้างหน้าของผู้สังเกตที่ออยู่ในรถ  ผู้สังเกตย่อมเห็น สิ่งนั้นเคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็วมีขนาดเท่าที่รถวิ่ง  ซึ่งหมายถึงความเร็วในทิศตรงกันข้าม กับการเคลื่อนที่ของตนเอง  สิ่งที่อยู่นิ่งด้านข้าง  หรือหลังของผู้สังเกตก็จะปรากฎมีความเร็ว
เช่นเดียวกัน  เพราะฉะนั้นผู้สังเกตจึงจะเห็นเม็ดฝนมีความเร็วเดิม บวกด้วยความเร็วมีทิศตรงกันข้ามกับความเร็วของตนเองแต่ขนาดเท่ากัน   เมื่อให้
  เป็นความเร็วของผู้สังเกต (Observer) ให้  สามารถแสดงทิศทางได้ดังรูป

-          การเคลื่อนที่ในสองมิติและสามมิติ

                                          

การเคลื่อนที่ในสองมิติ และสามมิติ           การเคลื่อนที่ในสองมิติสามารถแยกคิดแบบการเคลื่อนที่หนึ่งมิติที่ตั้งฉากกัน และสามารถ นำการคิดสองทางนั้นมาประกอบกันหรือนำมารวมกันแบบเวกเตอร์ได้ ตามแนวของแกนสามแกนที่ ตั้งฉากซึ่งกัน  คือ  ตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XYZ สำหรับการเคลื่อนที่สามมิติ และตามแกน ของระบบโคออร์ดิเนต XY สำหรับการเคลื่อน ที่สองมิติ ตำแหน่งของวัตถุในสองมิติที่จุด P ที่เวลา  กำหนดได้ด้วยค่า และ ทางแกน X และแกน Y ตามลำดับ และตำแหน่งของวัตถุนั้นที่เวลา  (จุด Q) สมมติ ให้เป็น และ การกระจัดหรือการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งระหว่างสองจุดนั้นให้เป็น ไปตามเส้นโค้งดังรูป                                            รูป แสดงตำแหน่งและการกระจัดของวัตถุในช่วงเวลา กับ  ความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง X คือ และความเร็วเฉลี่ยสำหรับการเคลื่อนที่ทาง Y คือ เมื่อ กับ เข้าใกล้กันมาก ๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเช่นเดียวกับการคิดในหนึ่งมิติ

-          เวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในสองมิติ

เวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในสองมิติ
                 ดังตัวอย่างการเคลื่อนที่ที่ผ่านมา อาจคิดว่า เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (position vector) ที่เวลา   สำหรับวัตถุที่มีค่าทาง x เป็น  และมีค่า y เป็น เวกเตอร์   จะมีขนาดและทิศชัดเจนเทียบกับจุดกำเนิดของโคออร์ดิเนต เมื่อเวลาเปลี่ยนเป็น   ตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนไปเป็นเวกเตอร์
                องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์   คือ   องค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์   คือ ค่า  องค์ประกอบทาง x ของเวกเตอร์   คือ   และองค์ประกอบทาง y ของเวกเตอร์ คือ
                  ความเร็วเฉลี่ยสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ได้เป็น

          

-          ตัวอย่างโจทย์ เรื่องการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

1 ) นาย ก. เดินทางจาก A ไป B ใช้เวลา 18 วินาที จากนั้นเดินต่อไปยัง C ดังรูป ใช้เวลา 12 วินาที จงหาขนาดของความเร็วเฉลี่ยของนาย ก ตลอดการเดินทางดังนี้
	0.67 m/s 0.75 m/s 0.97 m/s 1.0 m/s
	2 ) รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ไปทางทิศเหนือ แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันออกด้วยขนาความเร็วเท่าเดิม ในเวลา 5 วินาที จงหาความเร็วของรถที่เปลี่ยนไป หลังจากเลี้ยวรถไปแล้ว
	เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ 40 เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ  เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงใต้ 40 เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงใต้

	3 ) จากข้อ 2 จงหาความเร่งของรถคันดังกล่าว ขณะเลี้ยวรถ
	เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ  เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงใต้ 8 เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ 8 เมตร/วินาที ทิศตะวันออกเฉียงใต้
	4 ) ถ้าการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ลากแถบกระดาษซึ่งเครื่องเคาะสัญญาณที่เคาะทุก ๆ  วินาที ทำให้เกิดจุดดังรูป จากการสังเกตจุดเหล่านี้จะบอกคร่าว ๆ ว่าความเร่งเป็นอย่างไร
	สม่ำเสมอ เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ลดลงเรื่อย ๆ เพิ่มแล้วลด

	5 ) จากการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรงโดยใช้เครื่องมือเคาะสัญญาณเวลาได้จุดเป็นแถบกระดาษวัดดังรูป โดยที่ระยะห่างระหว่างจุดจะมีช่วงเวลาเท่ากัน กราฟรูปใดที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งของวัตถุกับเวลา
	6 ) ถ้ากราฟระหว่างความเร็วของวัตถุ v ที่เวลา t ต่าง ๆ เป็นดังรูป กราฟของความเร่ง a กับเวลา t ต่าง ๆ จะเป็นตามรูปใด

	7 ) กราฟของตำแหน่งวัตถุบนแนวแกน X กับเวลา t เป็นดังรูป ช่วงเวลาใดหรือตำแหน่งใดที่วัตถุไม่มีความเร่ง
	ช่วง OA ช่วง BC ที่จุด B ที่จุด C
	8 ) จากกราฟระหว่างระยะทางของการกระจัดในแนวเส้นตรงกับเวลาดังรูป จงหาความเร็วเฉลี่ยระหว่างเวลา 0 วินาที ถึง 25 วินาที
	15 m/s 5 m/s -5 m/s 0 m/s

	9 ) จากกราฟความเร็ว - เวลา ซึ่งแสดงการเดินทางในช่วงเวลา A, B, C และ D จงหาระยะทางที่เคลื่อนที่ไปได้ใน 0.5 ชั่วโมง
	18.5 กิโลเมตร 19.5 กิโลเมตร 20.0 กิโลเมตร 40.0 กิโลเมตร
	10 ) จากข้อ 9. กราฟความเร็ว - เวลา จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยใน 0.2 ชั่วโมงแรก
	37.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 25.0 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 15.0 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 12.8 กิโลเมตรต่อชั่วโมง